En français moderne, la formule est figée, et on trouve même l'orthographe volontairement fantaisiste "kaslanntiène"

Qui est assez courante, comme si c'était un adverbe.
Mais techniquement, il s'agit de l'expression courante en français classique "tenir à" = "dépendre de", plus rare aujourd'hui. Par exemple, dans
Le chat botté de Perrault, le roi dit au marquis de Carabas
"Il ne tiendra qu'à vous, monsieur, que vous ne soyez mon gendre" = il ne dépend que de vous que vous soyez mon gendre (autrement dit : je souhaite que vous le soyez, vous n'avez qu'à dire oui, cela ne dépend que de votre volonté).
L'expression "qu'à cela ne tienne" est donc un subjonctif de souhait/d'ordre (que + subjonctif) avec ellipse du sujet (Que ce problème ne tienne pas à cela, puisse ce problème ne pas dépendre de cela). Dans l'exemple de Beaumont :
Tu n'as pas de maillot de bain ? Qu'à cela ne tienne, je t'en prête un
= j'ordonne/je souhaite que ce dont il est question [=nous baigner ensemble] ne dépende pas de cela [=le fait que tu n'aies pas de maillot].