Quand j'étais enfant, je rêvais d'avoir un nom qui voulait dire quelque chose, comme les indiens et puis j'ai appris que mon prénom "Grégoire" venait du grec egregorein qui veut dire "celui qui veille" d'après ce que j'ai pu lire.

Ouille ! Celui qui vous a renseigné avait des notions de grecs légèrement rouillées : cette forme est un barbarisme caractérisé ! Désinence d'infinitif présent sur une base de parfait : -4 points, et vous me le copierez cent fois !
Ou alors il préferait écrire en dialecte éolien oriental, mais alors là chapeau, parce que même moi, qui ai bossé un an sur ce dialecte-là, j'ai un peu de mal.
Procédons dans l'ordre.
En grec ancien, "(r)éveiller" se dit "egeirein" (εγείρειν), que les dictionnaires vous donnerons à la première personne car c'est l'usage : εγείρω "egeirô" j'éveille.
La première personne du parfait moyen (moyen = pronominal, en gros) de ce verbe est εγρήγορα "egrêgora" = "j'ai fini de me réveiller = je suis éveillé".
Donc, l'infinitif sera
évidemment, c'est tellement simple : εγρηγορηναι egrêgorenai
Bon, en fait je frime mais même moi j'ai dû réfléchir. La conjugaison du grec ancien, c'est à peine plus compliqué que le Rubik's Cube.
A partir de cette forme de parfait, qui a un sens de présent (je suis éveillé), et parce qu'il faut bien l'avouer, le verbe egeirein est sacrément irrégulier (si tant est qu'il y ait des verbes réguliers en grec ancien...), on a refait un verbe γρηγορέω "grêgoreô" "je suis éveillé". C'est déjà un peu moins ancien : il apparaît dans Aristote et dans le Nouveau Testament.
... Ah oui, il y a un e qui a disparu au début. Il faisait partie du radical, mais on a cru que c'était un "augment", spécialité du grec ancien comme moderne, qui consiste à rajouter un e au début d'un verbe pour le mettre à un temps du passé.
D'où enfin un adjectif γρήγορος "gregoros" "celui qui veille".
Et enfin le nom Grégoire : Gregorios
en minuscules : Γρήγοριος
en majuscules : ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ
PS : Si vous avez des petits carrés faites-nous le savoir, il y aura bien une âme charitable pour vous faire une capture d'écran. Je ne peux pas faire tous les accents du grec ancien sur un clavier d'ordinateur, mais pour ce qui est de votre nom, le compte y est.
La plupart des occasions des troubles du monde sont grammairiennes (Montaigne, II.12)