Tout d'abord, l'évolution n'est PAS phonétique. En effet, les finales latines en -eu(m) (le m tombe dès le latin tardif) donnent -ieu en français :
Déu(m) > dieu
lócu(m) > *lo(c)u > leu > lieu
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Le mot "musée" est d'origine grecque. Le μουσαιον (mousaion, mot dérivé de "mousê", le muse) était à l'origine une sorte d'université/centre de recherche situé à Alexandrie à l'époque hellénistique, et effectivement adossé au temple des Muses, où des philosophes et des philologues ont collationné toutes les oeuvres de la Grèce Antique, pour former la fameuse bibliothèque.
Les latin ont adapté "mousaion" en "museum" (car ai se prononce [ε] en grec tardif, et la finale latin de neutre -um correspond à la finale grecque de neutre -on).
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-eum -> -ée est une convention dans la transcription des mots gréco-latins en -aion / -eum (ou -aeum), comme l'a noté conmmoucki :
trop(h)eum -> trophée
lycaeum -> lycée
mausoleum -> mausolée
hymenaeum -> hyménée
athenaeum -> athénée
scarabeum -> scarabée
Mais attention : ce sont des transcriptions, non des évolutions, et tous ces mots sont des créations savantes. L'évolution populaire (et phonétique) de scarabeum, c'est "escarbot" (que l'on emploie plus beaucoup aujourd'hui, mais qui est le vrai mot français pour désigner un scarabée).
À ce titre, aucune n'est vraiment attestée avant le 15e siècle, sauf musée et trophée. On peut donc considérer que c'est à cette date que l'équivalence -eum = -ée s'est imposée.
Mais alors, pourquoi -eum = -ée ? J'avoue que je n'en sais rien. Y a-t-il eu des confusions ? Par exemple avec le mot d'ancien français "la musée" = l'action de regarder ?
Je te promets que je chercherai ces prochains jours à la faculté.
De toute façon, les transcription des mots grecs et latins est souvent assez fantaisiste. Au XVIe siècle, on francisait systématiquement, et l'on parlait ainsi de "Brute et Caisse" (Brutus et Cassius). On dit encore "Tite-Live", mais on parle de l'empereur Titus. La finale -ée sert aussi pour des mots terminés en -eas : Aeneas -> Enée, Skaias -> Scée, etc.
